Calcolo percentuale

Tabella di riferimento delle percentuali più comuni

Consultazione rapida: X% degli importi più frequenti. Tutti i valori sono arrotondati a 2 decimali.

Come si calcolano le percentuali

Una percentuale è un numero espresso come frazione di 100. La parola viene dal latino per centum, cioè «ogni cento». Le percentuali si usano ovunque: voti scolastici, sconti, aliquote fiscali, tassi di interesse, sondaggi, etichette nutrizionali e statistiche.

Esempi di uso quotidiano

Da dove vengono la parola «percento» e il simbolo %

La parola percento viene dal latino per centum, cioè «ogni cento». L'idea è antichissima: i Romani riscuotevano imposte come frazioni di 100, per esempio la centesima rerum venalium, un'imposta dell'1% sui beni venduti all'asta. Con la crescita dei commerci nell'Italia medievale e rinascimentale i mercanti lavoravano abitualmente in centesimi e scrivevano per cento, che gli scrivani abbreviavano. Tra il XV e il XVII secolo quell'abbreviazione è passata da «per 100» a forme stenografiche con un occhiello, fino al moderno segno % — in sostanza i due zeri di «100» riportati accanto a una barra di separazione. Il per mille (‰, parti su mille) e il punto base (un centesimo di punto percentuale) estendono la stessa idea a frazioni ancora più fini.

Un trucco utile: x% di y è uguale a y% di x

Poiché una percentuale è solo una moltiplicazione, gode della proprietà commutativa: x% di y è sempre uguale a y% di x. Non è una semplice curiosità: è una vera scorciatoia per il calcolo a mente. Immaginiamo di dover trovare il 4% di 75. Calcolato così è scomodo, ma il 75% di 4 fa evidentemente 3, e i due risultati coincidono. Allo stesso modo il 18% di 50 è difficile da immaginare, mentre il 50% di 18 fa chiaramente 9. Ogni volta che uno dei due numeri è «comodo» — un numero tondo, o qualcosa che si può dimezzare o dividere in quattro a mente — conviene ribaltare il calcolo: la risposta salta fuori da sola.

Un aumento e una diminuzione uguali non si annullano

Uno degli errori percentuali più comuni e più costosi è dare per scontato che un aumento e una diminuzione della stessa percentuale si annullino a vicenda. Non è così. Si parte da 100, si aumenta del 50% arrivando a 150, poi si toglie il 50% e si finisce a 75, non a 100 — perché la seconda percentuale si calcola sul numero più grande. La stessa asimmetria vale per gli investimenti: un titolo che perde il 50% deve poi guadagnare il 100% solo per tornare in pari, e una perdita del 20% richiede un guadagno del 25% per essere recuperata. Quando si mettono in fila un rialzo e un ribasso, ogni passaggio va calcolato sul valore che esiste in quel momento, non su quello di partenza.

Le percentuali in sequenza si moltiplicano, non si sommano

Le variazioni percentuali successive si compongono invece di sommarsi. Due aumenti consecutivi del 20% non fanno un aumento del 40%: 1,20 × 1,20 = 1,44, cioè un rialzo totale del 44%. Gli sconti in sequenza funzionano allo stesso modo: «30% di sconto, più un ulteriore 20%» non è il 50% di sconto ma 0,70 × 0,80 = 0,56, cioè 44% di sconto, perché il secondo sconto si applica al prezzo già ridotto. Per combinare più variazioni percentuali conviene trasformare ognuna in un moltiplicatore (un rialzo del 15% è ×1,15, un ribasso del 15% è ×0,85), moltiplicare i moltiplicatori tra loro e riconvertire il risultato in una percentuale unica.

Ricarico e margine: la coppia più confusa nel commercio

Ricarico e margine di profitto sono entrambi percentuali riferite alla stessa vendita, ma usano denominatori diversi, e confonderli porta a errori di prezzo concreti. Il ricarico è il guadagno in percentuale sul costo; il margine è il guadagno in percentuale sul prezzo di vendita. Un articolo che costa 100 € e viene venduto a 150 € ha un ricarico del 50% (50 ÷ 100) ma un margine di appena il 33,3% (50 ÷ 150). Poiché il prezzo di vendita è sempre più alto del costo, per la stessa vendita la percentuale di margine è sempre più piccola di quella di ricarico. Quando qualcuno parla di «margine del 50%» conviene verificare che non intenda invece un ricarico del 50%: la differenza può dimezzare in silenzio il guadagno atteso.

Variazione relativa e assoluta: come le statistiche ingannano

La stessa variazione può sembrare grande o piccola a seconda che venga espressa in termini relativi o assoluti: è lo strumento preferito dei titoli fuorvianti. Se un farmaco abbassa un rischio dal 2% all'1%, si tratta di una riduzione relativa del 50% (il rischio si dimezza) ma solo di una riduzione assoluta di 1 punto percentuale (un caso in meno ogni cento persone). Entrambi i numeri sono veri e raccontano lo stesso fatto in modi molto diversi. Davanti a una percentuale clamorosa vale la pena chiedersi «percentuale di che cosa, e quanto era grande la base?». Una variazione relativa enorme su una base minuscola conta spesso molto meno di quanto sembri — ed è esattamente la differenza tra «variazione percentuale» e variazione in «punti percentuali» che confonde così tante persone.

Punti base: percentuali di percentuali

In finanza le variazioni dei tassi di interesse e dei rendimenti si esprimono spesso in punti base (bps). Un punto base è un centesimo di punto percentuale — 0,01% — quindi 100 punti base equivalgono a 1 punto percentuale. Il termine esiste proprio per evitare l'ambiguità tra percentuale e punto percentuale: dire che una banca centrale «ha alzato i tassi di 25 punti base» è inequivocabile, mentre «ha alzato i tassi dello 0,25%» si può fraintendere. Per convertire basta dividere i punti base per 100 e ottenere i punti percentuali (50 bps = 0,5 punti percentuali).

Aggiungere e togliere l'IVA

L'IVA è il problema percentuale che si incontra più spesso. Per aggiungere l'imposta si moltiplica per uno più l'aliquota: un articolo che costa 1.000 € prima dell'IVA al 22% arriva a 1.000 × 1,22 = 1.220 €. Per togliere l'imposta e risalire all'imponibile partendo da un totale IVA inclusa bisogna dividere, non sottrarre: è la regola della percentuale inversa. Da un prezzo lordo di 1.220 € l'imponibile è 1.220 ÷ 1,22 = 1.000 €, e la quota di imposta è la differenza, 220 €. L'errore più frequente è calcolare il 22% del lordo (1.220 × 0,22 = 268,40 €), che gonfia l'imposta, perché il 22% era stato applicato all'imponibile e non al totale.

La regola del 72: stimare la crescita a mente

Un'ultima scorciatoia collega le percentuali alla crescita nel tempo. La regola del 72 stima quanto tempo impiega a raddoppiare una quantità che cresce a una percentuale fissa: basta dividere 72 per il tasso percentuale. Un capitale che rende il 6% all'anno raddoppia in circa 72 ÷ 6 = 12 anni; all'8% servono circa 9 anni. La stessa regola vale anche al contrario, per tutto ciò che si gonfia: prezzi che salgono del 3% all'anno raddoppiano in circa 24 anni. È un'approssimazione (il valore esatto si ricava dai logaritmi), ma è sorprendentemente precisa per i tassi a una cifra in cui rientrano quasi tutti i numeri di risparmi, prestiti e inflazione, e trasforma percentuali astratte in un'idea intuitiva di tempo.

Frazioni, decimali e percentuali sono la stessa cosa

Una percentuale è solo uno dei tre modi di scrivere lo stesso valore. Per trasformare una percentuale in decimale si divide per 100 (o si sposta la virgola di due posti a sinistra): 25% diventa 0,25. Per fare il percorso inverso si moltiplica per 100: 0,4 diventa 40%. Una frazione diventa percentuale dividendo il numero di sopra per quello di sotto e moltiplicando per 100, quindi tre quarti sono 3 ÷ 4 × 100 = 75%. Tenere a mente tutte e tre le forme rende più facile il calcolo mentale — è evidente che 50% è la metà, 25% un quarto, 10% un decimo e 1% un centesimo — ed è il motivo per cui «trovare X% di Y» in realtà significa solo «moltiplicare Y per la forma decimale di X».

Le percentuali non si possono mediare così

Fare la media di due percentuali sommandole e dividendo per due è un errore classico, perché percentuali calcolate su basi di dimensioni diverse non sono direttamente confrontabili. Con il 50% in un quiz da 10 domande e il 90% in un esame da 100 domande, la percentuale complessiva non è (50 + 90) ÷ 2 = 70%; è il totale delle risposte esatte sul totale possibile: (5 + 90) ÷ 110 ≈ 86%. Per combinare correttamente delle percentuali serve una media ponderata, in cui ogni percentuale pesa quanto il gruppo da cui proviene. Lo stesso ragionamento vale per tassi di interesse, tassi di risposta e tassi di conversione: prima di fare la media bisogna sempre pesare per la base.

Errore percentuale e differenza percentuale

Nella scienza e nelle misurazioni compaiono due grandezze simili. L'errore percentuale confronta un valore misurato o stimato con un valore vero e noto: si prende la differenza in valore assoluto, si divide per il valore vero e si moltiplica per 100 — un termometro che segna 102° quando la temperatura reale è 100° ha un errore del 2%. La differenza percentuale, invece, confronta due valori quando nessuno dei due è «quello giusto»: si divide la differenza assoluta per la media dei due, perché non esiste un riferimento vero su cui dividere. Scegliere la misura giusta conta: l'errore percentuale serve quando c'è un valore di riferimento rispetto a cui essere esatti o sbagliati, la differenza percentuale quando si stanno semplicemente confrontando due misure ugualmente valide.

Crescita media: il CAGR batte la media semplice

Quando una grandezza cresce ogni anno di una percentuale diversa, la media di quelle percentuali sovrastima il risultato reale, perché la crescita si compone. Il numero onesto è il tasso di crescita annuo composto (CAGR): l'unico tasso costante che porta dal valore iniziale a quello finale nello stesso numero di anni. Un investimento che in un anno guadagna il 50% e l'anno dopo perde il 50% ha una media semplice dello 0%, eppure 100 € sono diventati 150 € e poi 75 € — una perdita vera, e un CAGR ben sotto lo zero. Per riassumere la crescita su più periodi, il numero che dice la verità è il tasso composto, non la media aritmetica.

Punti di riferimento per il calcolo a mente

Bastano pochi punti di riferimento per rendere facili quasi tutte le percentuali di ogni giorno senza calcolatrice. Il 10% è la chiave maestra: si sposta la virgola di un posto a sinistra (il 10% di 84 è 8,4), e da lì si costruisce tutto il resto — il 5% è la metà del 10%, il 20% il doppio, il 15% è 10% più 5%, e l'1% è la virgola spostata di due posti. Per la mancia su un conto da 60 €: il 10% è 6 €, quindi il 20% è 12 € e il 15% è 9 €. Insieme al trucco commutativo (x% di y è uguale a y% di x), questi riferimenti permettono di risolvere a mente in pochi secondi una quota sorprendente delle domande percentuali della vita reale.