Calcolo interesse composto

10.000 $ a tassi e durate diverse

La formula dell’interesse composto, pezzo per pezzo

Ogni numero calcolato in questa pagina nasce da una sola equazione, la formula standard della capitalizzazione periodica:

A = P(1 + r/n)^nt

• P — il capitale. La somma di partenza. È il seme che il resto della formula moltiplica.
• r — il tasso annuo, scritto in forma decimale. Un tasso dichiarato del 7% entra nella formula come 0,07, non come 7. Dimenticare di dividere per 100 è l’errore di calcolo più comune con l’interesse composto.
• n — il numero di capitalizzazioni in un anno. 1 per la capitalizzazione annuale, 2 per la semestrale, 4 per la trimestrale, 12 per la mensile, 365 per la giornaliera. Dice quante volte gli interessi maturati vengono rimessi nel saldo, così da iniziare a loro volta a produrre interessi.
• t — il tempo in anni per cui il denaro resta a crescere.
• A — il montante finale: il capitale più ogni euro di interesse accumulato.

Il meccanismo ha due pezzi. Il fattore di crescita di ogni periodo (1 + r/n) dice per quanto viene moltiplicato il saldo a ogni passo; l’esponente nt è il numero totale di quei passi. Poiché il fattore si applica di nuovo ogni volta, gli interessi accreditati in un periodo entrano nella base del periodo successivo: è questo ritorno continuo a rendere la crescita esponenziale invece che lineare. Quando si aggiunge anche un versamento fisso C a ogni periodo, lo strumento somma sopra il valore finale di una rendita posticipata, C × ((1 + r/n)^nt − 1) ÷ (r/n), che mette insieme la crescita di ogni singolo versamento.

Perché la frequenza di capitalizzazione conta — fino a un certo punto

Tenendo fermi tasso, capitale e tempo e aumentando n, il montante sale — ma ogni volta di meno, avvicinandosi a un tetto che non può superare. Ecco 10.000 €, con un tasso annuo del 7%, per 10 anni, capitalizzati con frequenze diverse:

Passare dalla capitalizzazione annuale a quella mensile aggiunge circa 425 €; spingersi da quella giornaliera fino al limite teorico della capitalizzazione continua aggiunge poco più di un euro. La frequenza aiuta davvero, ma il vantaggio si esaurisce in fretta. L’effetto è più grande con tassi alti e periodi lunghi, ed è proprio per questo che un conto che pubblicizza la «capitalizzazione giornaliera» rende solo un pizzico più di uno capitalizzato ogni mese allo stesso tasso dichiarato.

La capitalizzazione continua e il numero e

Portando la frequenza al suo estremo — capitalizzare non ogni giorno né ogni ora, ma in ogni istante — la formula si riduce a qualcosa di molto più semplice:

A = P·e^rt

Qui e è il numero di Eulero, la costante matematica che vale circa 2,71828. È esattamente il valore verso cui tende (1 + 1/n)ⁿ quando n cresce senza limite, ed è per questo che compare nel momento in cui la capitalizzazione diventa continua. Non è una coincidenza della finanza: è la storia di come questa costante è nata. Nel 1683 il matematico svizzero Jacob Bernoulli studiava proprio questa domanda: se un conto pagasse il 100% di interesse all’anno, quanto si guadagnerebbe capitalizzando sempre più spesso? Calcolò che con la capitalizzazione trimestrale 1 € diventa circa 2,44 € e con quella mensile circa 2,61 €, e dimostrò che la successione è limitata: per quanto finemente si divida l’anno, il risultato si ferma da qualche parte tra 2 e 3. Quel tetto è e ≈ 2,718281828, e l’analisi di Bernoulli è considerata di solito la prima volta in cui un numero è stato definito come limite di un’espressione. Una costante che oggi compare ovunque, dall’analisi matematica alla probabilità alla fisica, fu individuata per la prima volta da qualcuno che inseguiva il bordo estremo dell’interesse composto.

La regola del 72 (e 70, 114 e 144)

La regola del 72 è una scorciatoia mentale per il tempo di raddoppio: si divide 72 per il tasso di interesse scritto come numero intero in percentuale, e il risultato dice all’incirca quanti anni servono perché il capitale raddoppi. All’8% sono 72 ÷ 8 = 9 anni; al 6%, 12 anni. La scorciatoia ha secoli: il frate toscano Luca Pacioli la descrisse nella sua Summa de arithmetica, stampata a Venezia nel 1494, molto prima che qualcuno riuscisse a spiegare perché funziona.

La risposta esatta viene dai logaritmi. Il capitale raddoppia quando il fattore di crescita arriva a 2, quindi il tempo di raddoppio preciso è ln(2) ÷ ln(1 + r). Per i tassi piccoli tipici della finanza vale ln(1 + r) ≈ r, e il tempo di raddoppio diventa circa ln(2) ÷ r. Poiché ln(2) ≈ 0,693, il numeratore matematicamente onesto è circa 69,3 (alcuni lo arrotondano a 70, comodo per i conti su inflazione e popolazione perché dà divisioni pulite). Allora perché 72? Perché 72 è molto più maneggevole a mente — si divide esattamente per 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12 — e per una fortunata coincidenza è più preciso proprio nella fascia 6–10%, dove si concentrano i tassi di tutti i giorni. La tabella qui sotto mostra quanto la regola approssimata resti vicina alla risposta vera, con capitalizzazione annuale:

Lo stesso trucco vale per obiettivi più ambiziosi. Per stimare il tempo di triplicazione si divide 114 per il tasso (il valore esatto è ln(3) × 100 ≈ 109,9, arrotondato per eccesso perché la divisione resti facile); per quadruplicare si usa 144 (da ln(4) × 100 ≈ 138,6). Con la capitalizzazione continua, al posto di 72 si usa 69,3, che non è un’approssimazione ma il valore esatto.

Un’idea sorprendentemente antica

L’interesse composto non è un’invenzione moderna: è uno dei più antichi pezzi di matematica applicata di cui abbiamo traccia. Gli scribi babilonesi ponevano e risolvevano problemi di interesse sull’interesse su tavolette d’argilla già nel periodo paleobabilonese, all’incirca tra il 2000 e il 1700 a.C.; la loro espressione accadica şibāt şibtim significa alla lettera «interesse dell’interesse». Il Codice di Hammurabi, inciso intorno al 1750 a.C., regolava già i prestiti e fissava un tetto agli interessi: 20% all’anno sui prestiti in argento e 33⅓% su quelli in orzo o grano.

La sua reputazione non è sempre stata buona. Far maturare interessi sugli interessi già scaduti — l’anatocismo — era condannato dal diritto romano e considerato tra le forme peggiori di usura, e i divieti religiosi sull’interesse hanno plasmato il prestito in tutto il mondo medievale. L’eco arriva fino al diritto italiano di oggi: l’articolo 1283 del Codice civile ammette gli interessi sugli interessi solo dal giorno della domanda giudiziale o per un accordo successivo alla loro scadenza, e solo se si tratta di interessi dovuti da almeno sei mesi. La prima opera in inglese dedicata interamente al tema arrivò molto più tardi: il libro del 1613 di Richard Witt, Arithmeticall Questions, con circa 124 esempi svolti e tavole dettagliate costruite attorno al tetto legale del 10% dell’epoca, sia per somme versate in una volta sola sia per flussi di pagamenti annuali, semestrali e trimestrali. Manuali di mercatura più antichi contenevano già tavole di interesse composto — quello del fiorentino Francesco Balducci Pegolotti, intorno al 1340, è l’esempio più noto — ma quello di Witt fu il primo libro intero sull’argomento.

Einstein l’ha davvero chiamato l’ottava meraviglia?

Quasi tutti hanno visto questa frase: «L’interesse composto è l’ottava meraviglia del mondo. Chi lo capisce lo guadagna; chi non lo capisce lo paga» — attribuita con grande sicurezza ad Albert Einstein. Ne esce un bel poster. C’è solo un problema: non esiste alcuna prova attendibile che Einstein l’abbia mai detta o scritta. I ricercatori di Quote Investigator e di altre fonti hanno seguito la pista e non hanno trovato nessuna fonte dell’epoca: nessuna lettera, nessuna intervista, niente che leghi la frase a Einstein. La citazione compare a stampa solo attorno al 1983, quasi trent’anni dopo la sua morte nel 1955. L’etichetta di «ottava meraviglia» veniva appiccicata all’interesse composto dai pubblicitari già in un annuncio bancario del 1925, senza alcun nome famoso; con il tempo è stata semplicemente assegnata a Einstein, e a volte a finanzieri come i Rothschild o Rockefeller, per farla suonare più autorevole.

Lo segnaliamo perché l’accuratezza conta più di una citazione a effetto. La matematica della capitalizzazione è davvero notevole, ma lo stupore se lo guadagnano i numeri, non un avallo famoso attribuito per sbaglio.

Interesse semplice e interesse composto

L’interesse semplice matura solo sul capitale di partenza: ogni anno si guadagna la stessa cifra e il saldo cresce in linea retta. L’interesse composto matura sul capitale e sugli interessi già guadagnati, quindi il saldo curva verso l’alto e accelera. Su periodi brevi i due risultati si somigliano molto; su periodi lunghi si allontanano in modo netto. Ecco 10.000 € al 6% all’anno, semplice contro composto annuale:

Dopo 40 anni il saldo composto è circa tre volte quello ottenuto con l’interesse semplice, a parità di somma versata e di tasso: tutta la differenza sono interessi che hanno prodotto altri interessi. È il motore del valore del denaro nel tempo: un euro oggi vale più di un euro domani proprio perché nel frattempo può essere messo a capitalizzare. È anche il motivo per cui iniziare presto può contare più che investire di più. Un unico versamento di 10.000 € lasciato crescere al 7% per 40 anni arriva a circa 149.745 €, mentre gli stessi 10.000 € investiti per «soli» 30 anni si fermano a circa 76.123 €: poco più della metà, a parità di versamento, solo perché la prima versione ha avuto dieci anni in più di capitalizzazione. (Sono esempi di matematica, non previsioni né consigli di investimento: i rendimenti reali cambiano e non sono mai garantiti.)

Tasso nominale e tasso effettivo (TAN e TAE)

Due conti possono dichiarare lo stesso tasso in vetrina e rendere in modo diverso, perché il tasso dichiarato spesso non tiene conto della frequenza di capitalizzazione. Il tasso annuo nominale (in Italia il TAN) è il tasso indicato prima di considerare quante volte gli interessi vengono capitalizzati. Il tasso annuo effettivo (TAE) incorpora la capitalizzazione ed è l’unico numero che permette un confronto alla pari. La conversione è TAE = (1 + r/n)ⁿ − 1. Un tasso nominale del 12% capitalizzato ogni mese equivale a un effettivo del 12,68%; se invece quel 12% è un tasso che si paga, capitalizzare più spesso gioca contro. Sui finanziamenti si guarda al TAEG, che al tasso aggiunge anche le spese obbligatorie, proprio perché il costo vero non resti nascosto nelle righe piccole.

Quando la capitalizzazione gioca contro

La capitalizzazione non guarda in faccia a nessuno: fa crescere qualunque cosa a cui viene applicata, debiti compresi. Su una carta di credito con tasso nominale del 24% capitalizzato ogni mese, il tasso effettivo è circa il 26,82% all’anno, e il saldo non pagato viene ricaricato di interessi ogni mese, così che il mese dopo gli interessi maturano anche sugli interessi. La stessa curva che costruisce un capitale per la pensione può seppellire chi paga solo la rata minima.

L’inflazione si capisce meglio come una capitalizzazione al contrario: erode il potere d’acquisto del denaro a un ritmo composto. Con un’inflazione stabile del 3%, la regola del 72 dice che i prezzi raddoppiano — e il potere d’acquisto si dimezza — in circa 24 anni (72 ÷ 3). Ecco perché un rendimento «sicuro» che pareggia soltanto l’inflazione non lascia in una posizione migliore in termini reali, e perché chi risparmia a lungo termine guarda al tasso reale (al netto dell’inflazione) e non solo a quello nominale. Sul lato costruttivo, reinvestire ciò che si incassa — dividendi rimessi dentro, interessi non spesi — è quello che tiene acceso il motore della capitalizzazione: se gli interessi vengono spesi, la crescita composta torna in silenzio a essere semplice.

Errori comuni con l’interesse composto

• Confondere il tasso nominale con quello effettivo. Mettere a confronto un tasso «capitalizzato ogni mese» con uno «annuale» senza convertirli in tasso effettivo significa confrontare due cose diverse.
• Ignorare del tutto la frequenza di capitalizzazione. Lo stesso tasso nominale, capitalizzato ogni giorno o una volta l’anno, porta a totali diversi: poco all’inizio, molto nell’arco di decenni.
• Aspettarsi una crescita lineare. I risultati di lungo periodo vengono sottovalutati di continuo, perché l’intuito prolunga una linea retta mentre la capitalizzazione curva verso l’alto.
• Dimenticare spese, imposte e inflazione. Il rendimento in vetrina è lordo; quello che cresce davvero è ciò che resta dopo i costi e, in termini reali, dopo l’inflazione.
• Inserire il tasso sbagliato. Usare 7 al posto di 0,07, oppure applicare un tasso annuo senza far coincidere il numero di periodi con la frequenza di capitalizzazione, sballa il risultato di ordini di grandezza.
• Scambiare una proiezione per una promessa. Un modello di interesse composto assume un tasso fisso per sempre; nella realtà i tassi cambiano, quindi il risultato serve a capire il meccanismo, non a prevedere un saldo garantito.