चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर
देखें कि चक्रवृद्धि ब्याज के साथ आपका पैसा कैसे बढ़ता है। बचत, निवेश या रिटायरमेंट को मॉडल करने के लिए नियमित योगदान जोड़ें।
विभिन्न दरों और अवधियों पर $10,000
साल-दर-साल ग्रोथ टेबल
| साल | बैलेंस | अर्जित ब्याज | कुल योगदान |
|---|
चक्रवृद्धि बनाम साधारण ब्याज
समान दर पर, — साल में चक्रवृद्धि ब्याज साधारण ब्याज से — ज़्यादा बढ़ता है। साधारण ब्याज केवल मूल मूलधन पर मिलता है; चक्रवृद्धि ब्याज हर जमा हुए ब्याज पर भी मिलता है।
72 का नियम
—% प्रति वर्ष पर, आपका पैसा लगभग हर — साल में दोगुना हो जाता है (72 ÷ दर = दोगुना होने का समय)।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र, पद-दर-पद
यह कैलकुलेटर जो भी आँकड़ा निकालता है, वह एक ही समीकरण से आता है — आवधिक कंपाउंडिंग का मानक सूत्र:
A = P(1 + r/n)nt
- P — मूलधन। वह राशि जिससे आप शुरू करते हैं। यह वह बीज है जिसे बाकी सूत्र गुणा करता है।
- r — वार्षिक ब्याज दर, दशमलव में लिखी गई। 7% की उद्धृत दर सूत्र में 0.07 के रूप में जाती है, 7 के रूप में नहीं। 100 से भाग देना भूल जाना चक्रवृद्धि-ब्याज गणित की सबसे आम अंकगणितीय चूक है।
- n — प्रति वर्ष कंपाउंडिंग अवधियों की संख्या। वार्षिक के लिए 1, अर्ध-वार्षिक के लिए 2, तिमाही के लिए 4, मासिक के लिए 12, दैनिक के लिए 365। यह बताता है कि अर्जित ब्याज को कितनी बार वापस बैलेंस में जोड़ा जाता है ताकि वह अपने ऊपर ब्याज कमाना शुरू कर सके।
- t — सालों में समय जितने समय के लिए पैसा बढ़ने के लिए छोड़ा जाता है।
- A — अंतिम राशि: आपका मूलधन और उस पर जमा हुआ हर डॉलर ब्याज।
यह मशीनरी दो हिस्सों में बैठी है। प्रति-अवधि वृद्धि गुणक (1 + r/n) बताता है कि हर कंपाउंडिंग चरण पर बैलेंस को कितने से गुणा किया जाता है; घातांक nt उन चरणों की कुल संख्या है। चूँकि यह गुणक बार-बार लगाया जाता है, एक अवधि में जोड़ा गया ब्याज अगली अवधि के आधार में शामिल हो जाता है — यही वह फ़ीडबैक लूप है जो वृद्धि को रैखिक के बजाय घातीय बनाता है। जब आप हर अवधि में एक निश्चित जमा C भी जोड़ते हैं, तो यह टूल एक साधारण एन्युटी के भविष्य मूल्य को इसके ऊपर परत की तरह जोड़ देता है, C × ((1 + r/n)nt − 1) ÷ (r/n), जो हर योगदान की अलग-अलग कंपाउंड हुई वृद्धि का योग करता है।
कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी क्यों मायने रखती है — एक सीमा तक
दर, मूलधन और समय को स्थिर रखें और n बढ़ाएँ, तो अंतिम राशि बढ़ती है — पर हर बार कम और कम, एक कठोर सीमा की ओर चढ़ती हुई जिसे वह कभी पार नहीं कर सकती। यहाँ $10,000 है, 7% वार्षिक दर पर, 10 साल के लिए, विभिन्न फ्रीक्वेंसी पर कंपाउंड किया गया:
| कंपाउंडिंग | अंतिम राशि |
|---|---|
| वार्षिक (n = 1) | $19,671.51 |
| तिमाही (n = 4) | $20,015.97 |
| मासिक (n = 12) | $20,096.61 |
| दैनिक (n = 365) | $20,136.18 |
| सतत (n → ∞) | $20,137.53 |
वार्षिक से मासिक कंपाउंडिंग में जाने से लगभग $425 जुड़ते हैं; दैनिक से सतत कंपाउंडिंग की सैद्धांतिक सीमा तक पूरा रास्ता धकेलने से मुश्किल से एक डॉलर और जुड़ता है। फ्रीक्वेंसी सचमुच मदद करती है, पर इसमें तेज़ी से घटते प्रतिफल हैं। यह असर ऊँची दरों और लंबी अवधियों पर बड़ा होता है, और ठीक यही वजह है कि "दैनिक कंपाउंडेड" का विज्ञापन करने वाला बचत खाता उसी उद्धृत दर पर मासिक कंपाउंड होने वाले खाते से बस मामूली ही बेहतर होता है।
सतत कंपाउंडिंग और संख्या e
फ्रीक्वेंसी को उसकी तार्किक चरम सीमा तक धकेलें — दैनिक या प्रति घंटा नहीं बल्कि हर क्षण कंपाउंड करना — और सूत्र कहीं अधिक सरल रूप में सिमट जाता है:
A = P·ert
यहाँ e ओइलर की संख्या है, वह गणितीय स्थिरांक जो लगभग 2.71828 के बराबर है। यह ठीक वही मान है जिसकी ओर (1 + 1/n)n तब बढ़ता है जब n बिना किसी सीमा के बड़ा होता जाता है, इसीलिए यह उसी क्षण प्रकट होता है जब कंपाउंडिंग सतत हो जाती है। यह वित्त का कोई संयोग नहीं है — यही इस स्थिरांक की उत्पत्ति की कहानी है। 1683 में स्विस गणितज्ञ जेकब बर्नूली ठीक यही सवाल पढ़ रहे थे: अगर कोई खाता 100% वार्षिक ब्याज दे, तो इसे बार-बार और अधिक बार कंपाउंड करने से आप कितना अधिक कमाएँगे? उन्होंने निकाला कि तिमाही कंपाउंडिंग $1 को लगभग $2.44 और मासिक को लगभग $2.61 में बदल देती है, और साबित किया कि यह अनुक्रम सीमित है, चाहे आप साल को कितने भी बारीक टुकड़ों में बाँटें, कहीं 2 और 3 के बीच जाकर ठहर जाता है। वह सीमा e ≈ 2.718281828 है, और बर्नूली के विश्लेषण को आम तौर पर पहली बार का श्रेय दिया जाता है जब किसी संख्या को एक व्यंजक की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया। एक स्थिरांक जो अब कैलकुलस, प्रायिकता और भौतिकी में हर जगह दिखता है, सबसे पहले किसी ऐसे व्यक्ति ने पकड़ा जो चक्रवृद्धि ब्याज के बाहरी किनारे का पीछा कर रहा था।
72 का नियम (और 70, 114 तथा 144)
72 का नियम दोगुना होने के समय का एक मानसिक शॉर्टकट है: 72 को पूर्ण-संख्या प्रतिशत के रूप में लिखी ब्याज दर से भाग दें, और नतीजा मोटे तौर पर बताता है कि आपके पैसे को दोगुना होने में कितने साल लगेंगे। 8% पर, यह 72 ÷ 8 = 9 साल है; 6% पर, 12 साल। यह शॉर्टकट सदियों पुराना है — लूका पाचोली ने इसे अपने 1494 के गणित ग्रंथ में वर्णित किया था, इससे बहुत पहले कि कोई यह निकाल पाता कि यह काम क्यों करता है।
सटीक उत्तर लघुगणक से आता है। पैसा तब दोगुना होता है जब वृद्धि गुणक 2 तक पहुँचता है, इसलिए सटीक दोगुना-समय ln(2) ÷ ln(1 + r) है। वित्त में सामान्य छोटी दरों के लिए, ln(1 + r) ≈ r, जिससे दोगुना-समय लगभग ln(2) ÷ r हो जाता है। चूँकि ln(2) ≈ 0.693, गणितीय रूप से ईमानदार अंश लगभग 69.3 है (कुछ लोग इसे 70 तक गोल कर देते हैं, जो महँगाई और जनसंख्या गणित के लिए लोकप्रिय है क्योंकि यह साफ़-साफ़ भाग जाता है)। तो फिर 72 क्यों? क्योंकि 72 मानसिक अंकगणित के लिए कहीं अधिक सुविधाजनक है — यह 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 और 12 से पूरी तरह भाग जाता है — और यह संयोग से 6–10% रेंज में सबसे सटीक होता है जहाँ रोज़मर्रा की दरें केंद्रित रहती हैं। नीचे की तालिका दिखाती है कि यह मोटा नियम असली, वार्षिक-कंपाउंडेड उत्तर के कितना क़रीब रहता है:
| दर | 72 का नियम | सटीक (वार्षिक) |
|---|---|---|
| 2% | 36.0 साल | 35.0 साल |
| 4% | 18.0 साल | 17.7 साल |
| 6% | 12.0 साल | 11.9 साल |
| 8% | 9.0 साल | 9.0 साल |
| 10% | 7.2 साल | 7.3 साल |
| 12% | 6.0 साल | 6.1 साल |
यही तरकीब बड़े लक्ष्यों तक भी बढ़ती है। तिगुना होने का समय आँकने के लिए, 114 से भाग दें (सटीक आँकड़ा ln(3) × 100 ≈ 109.9 है, आसान भाग के लिए ऊपर गोल किया गया); चौगुना होने के लिए, 144 का उपयोग करें (ln(4) × 100 ≈ 138.6 से)। सतत रूप से कंपाउंड होने वाली दरों के लिए, 72 की जगह 69.3 रखें, जो अनुमानित नहीं बल्कि सटीक है।
एक हैरान कर देने वाला प्राचीन विचार
चक्रवृद्धि ब्याज कोई आधुनिक आविष्कार नहीं है — यह व्यावहारिक गणित के सबसे पुराने टुकड़ों में से एक है जिसका हमारे पास रिकॉर्ड मौजूद है। बेबीलोन के लिपिक पुराने बेबीलोनियन काल में, यानी लगभग 2000–1700 ईसा पूर्व, मिट्टी की पट्टियों पर ब्याज-पर-ब्याज की समस्याएँ रचते और हल करते थे; उनका अक्कादियन वाक्यांश şibāt şibtim का शाब्दिक अनुवाद है "ब्याज पर ब्याज।" हम्मुराबी की संहिता, जो लगभग 1750 ईसा पूर्व अंकित हुई, पहले से ही उधार को विनियमित करती थी, चाँदी के ऋण पर ब्याज को प्रति वर्ष 20% और जौ या अनाज के ऋण पर 33⅓% तक सीमित करती थी।
इसकी प्रतिष्ठा हमेशा अच्छी नहीं रही। जमा हुए ब्याज पर ब्याज लेना — ऐतिहासिक रूप से जिसे anatocism कहा जाता था — रोमन कानून के तहत निंदित था और सूदखोरी के सबसे बुरे रूपों में गिना जाता था, और ब्याज पर धार्मिक निषेधों ने मध्यकालीन दुनिया भर में उधार को आकार दिया। अंग्रेज़ी में पूरी तरह इसी विषय को समर्पित पहली कृति बहुत बाद में आई: रिचर्ड विट की 1613 की पुस्तक Arithmeticall Questions, जिसमें लगभग 124 हल किए गए उदाहरण और उस समय की 10% कानूनी अधिकतम सीमा के इर्द-गिर्द बनी विस्तृत चक्रवृद्धि-ब्याज तालिकाएँ भरी थीं, जो एकमुश्त रकम और वार्षिक, अर्ध-वार्षिक तथा तिमाही भुगतानों की धाराओं दोनों को कवर करती थीं। पहले के व्यापारी-मैनुअल, जैसे फ्रांसेस्को पेगोलोत्ती का लगभग 1340 का, चक्रवृद्धि-ब्याज तालिकाएँ शामिल कर चुके थे, पर विट की पुस्तक इस पर पहली पूरी किताब थी।
क्या आइंस्टीन ने सचमुच इसे आठवाँ अजूबा कहा था?
आपने लगभग निश्चित रूप से यह पंक्ति देखी होगी: "चक्रवृद्धि ब्याज दुनिया का आठवाँ अजूबा है। जो इसे समझता है, वह इसे कमाता है; जो नहीं समझता, वह इसे चुकाता है" — पूरे विश्वास के साथ अल्बर्ट आइंस्टीन को इसका श्रेय दिया जाता है। यह एक बेहतरीन पोस्टर बनती है। बस एक समस्या है: ऐसा कोई विश्वसनीय प्रमाण नहीं है कि आइंस्टीन ने कभी यह कहा या लिखा हो। Quote Investigator और अन्य जगहों के शोधकर्ताओं ने इस कहावत का पीछा किया और कोई समकालीन स्रोत नहीं पाया — न कोई पत्र, न कोई साक्षात्कार — कुछ भी नहीं जो इसे आइंस्टीन से जोड़ता हो। यह उद्धरण छपाई में केवल 1983 के आसपास दिखना शुरू हुआ, यानी 1955 में उनकी मृत्यु के लगभग तीन दशक बाद। "आठवाँ अजूबा" का लेबल विज्ञापन-लेखक 1925 की एक बैंक विज्ञापन जितने पहले से ही चक्रवृद्धि ब्याज पर चिपका रहे थे, बिना किसी मशहूर नाम के; समय के साथ इसे बस आइंस्टीन को, और कभी-कभी रॉथ्सचाइल्ड या रॉकफेलर जैसे वित्तपोषकों को सौंप दिया गया, ताकि यह अधिक आधिकारिक लगे।
हम इसे इसलिए चिह्नित करते हैं क्योंकि एक साफ़-सुथरे उद्धरण से ज़्यादा सटीकता मायने रखती है। कंपाउंडिंग का गणित सचमुच उल्लेखनीय है — पर यह विस्मय संख्याओं से अर्जित होता है, किसी ग़लत ढंग से सौंपे गए मशहूर व्यक्ति के समर्थन से नहीं।
साधारण बनाम चक्रवृद्धि ब्याज
साधारण ब्याज केवल मूल मूलधन पर मिलता है: हर साल आप वही समान राशि कमाते हैं, और बैलेंस एक सीधी रेखा में बढ़ता है। चक्रवृद्धि ब्याज मूलधन और पहले से अर्जित ब्याज दोनों पर मिलता है, इसलिए बैलेंस ऊपर की ओर मुड़कर तेज़ हो जाता है। छोटी अवधियों में दोनों लगभग एक जैसे दिखते हैं; लंबी अवधियों में वे नाटकीय रूप से अलग हो जाते हैं। यहाँ $10,000 है, 6% प्रति वर्ष पर, साधारण बनाम वार्षिक रूप से कंपाउंडेड:
| साल | साधारण ब्याज | चक्रवृद्धि ब्याज |
|---|---|---|
| 5 | $13,000 | $13,382 |
| 10 | $16,000 | $17,908 |
| 20 | $22,000 | $32,071 |
| 30 | $28,000 | $57,435 |
| 40 | $34,000 | $102,857 |
40 साल बाद कंपाउंडेड बैलेंस उसी दर पर उसी जमा से मिलने वाले साधारण-ब्याज नतीजे का लगभग तीन गुना है — पूरा अंतर ब्याज पर कमाया गया ब्याज है। यही पैसे के समय-मूल्य के पीछे का इंजन है: आज का एक डॉलर बाद के एक डॉलर से अधिक मूल्यवान है, ठीक इसलिए कि इसे बीच के समय में कंपाउंडिंग पर लगाया जा सकता है। यही वजह भी है कि जल्दी शुरू करना अधिक निवेश करने से ज़्यादा मायने रख सकता है। 7% पर 40 साल के लिए कंपाउंड होने के लिए छोड़ी गई एक ही $10,000 की जमा बढ़कर लगभग $149,745 हो जाती है, जबकि वही $10,000 "केवल" 30 साल के लिए निवेश किए जाने पर लगभग $76,123 तक पहुँचती है — एक समान जमा से लगभग आधी, केवल इसलिए कि पहले वाले संस्करण को कंपाउंडिंग के दस अतिरिक्त साल मिले। (ये गणित के उदाहरण हैं, भविष्यवाणियाँ या निवेश सलाह नहीं; वास्तविक रिटर्न बदलते रहते हैं और कभी गारंटीशुदा नहीं होते।)
नाममात्र दर बनाम प्रभावी दर (APR बनाम APY)
दो खाते एक ही हेडलाइन दर उद्धृत कर सकते हैं और फिर भी अलग-अलग भुगतान कर सकते हैं, क्योंकि हेडलाइन अक्सर कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी को अनदेखा कर देती है। नाममात्र वार्षिक दर (अक्सर APR के रूप में लेबल की गई) यह हिसाब लगाने से पहले की उद्धृत दर है कि यह कितनी बार कंपाउंड होती है। प्रभावी वार्षिक दर — EAR, या किसी बचत उत्पाद पर APY — कंपाउंडिंग को इसमें समेट लेती है, और यही वह है जिसकी आप वास्तव में सेब-से-सेब तुलना कर सकते हैं। रूपांतरण है EAR = (1 + r/n)n − 1। मासिक कंपाउंड होने वाली नाममात्र 12% प्रभावी रूप से 12.68% है; अगर इसके बजाय आपसे 12% वसूला जा रहा है, तो अधिक बार कंपाउंडिंग आपके ख़िलाफ़ काम करती है। कई जगहों पर कानूनन, जमा खातों को APY का विज्ञापन करना होता है और ऋणों को APR प्रकट करना होता है, ठीक इसीलिए कि कंपाउंडिंग बारीक अक्षरों में छिप न जाए।
जब कंपाउंडिंग आपके ख़िलाफ़ काम करती है
कंपाउंडिंग दिशा-अंधी होती है: यह जिस पर भी लागू हो उसे बढ़ाती है, जिसमें वह भी शामिल है जो आप पर बकाया है। 24% APR पर मासिक कंपाउंड होने वाले क्रेडिट कार्ड पर, प्रभावी दर साल में लगभग 26.82% होती है, और कोई भी न चुकाया गया बैलेंस हर महीने फिर से पूँजीकृत हो जाता है ताकि अगले महीने का ब्याज इस महीने के ब्याज पर वसूला जाए। वही घातीय वक्र जो एक रिटायरमेंट बैलेंस बनाता है, उस उधारकर्ता को दफ़्न कर सकता है जो केवल न्यूनतम भुगतान करता है।
महँगाई को उल्टी कंपाउंडिंग के रूप में समझना सबसे अच्छा है — यह पैसे की क्रय-शक्ति को एक कंपाउंडिंग दर पर घटाती है। स्थिर 3% महँगाई पर, 72 का नियम कहता है कि क़ीमतें लगभग हर 24 साल में दोगुनी हो जाती हैं, और किसी मुद्रा की क्रय-शक्ति लगभग आधी हो जाती है (72 ÷ 3)। यही वजह है कि एक "सुरक्षित" रिटर्न जो केवल महँगाई की बराबरी करता है, आपको वास्तविक रूप में कोई बेहतर स्थिति में नहीं छोड़ता, और यही वजह है कि दीर्घकालिक बचतकर्ता वास्तविक (महँगाई-रहित) दर पर नज़र रखते हैं, केवल नाममात्र दर पर नहीं। रचनात्मक पक्ष पर, भुगतानों को फिर से निवेश करना — लाभांश पुनर्निवेश, ब्याज को खर्च करने के बजाय वापस लगाना — यही कंपाउंडिंग मशीन को भोजन देता रहता है; ब्याज खर्च कर दें और आप चुपचाप चक्रवृद्धि वृद्धि को साधारण वृद्धि में बदल देते हैं।
चक्रवृद्धि-ब्याज की आम गलतियाँ
- नाममात्र दर को प्रभावी दर समझ लेना। EAR/APY में बदले बिना किसी "मासिक कंपाउंडेड" दर की किसी "वार्षिक" दर से तुलना करना दो अलग चीज़ों की तुलना है।
- कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी को पूरी तरह अनदेखा करना। वही नाममात्र दर दैनिक बनाम वार्षिक कंपाउंडिंग पर अलग-अलग कुल राशि देती है; पहले छोटी, दशकों में मायने रखने वाली।
- रैखिक वृद्धि की उम्मीद करना। लोग नियमित रूप से दीर्घकालिक परिणामों को कम आँकते हैं क्योंकि सहज बुद्धि सीधी रेखा में अनुमान लगाती है जबकि कंपाउंडिंग ऊपर की ओर मुड़ती है।
- शुल्क, कर और महँगाई भूल जाना। एक हेडलाइन रिटर्न सकल होता है; आपके लिए जो कंपाउंड होता है वह लागत काटे जाने और वास्तविक रूप में महँगाई घटाए जाने के बाद बचा रिटर्न है।
- दर ग़लत डालना। 0.07 के बजाय 7 का उपयोग करना, या अवधि-गणना को कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी से मिलाए बिना कोई वार्षिक दर लगाना, उत्तर को कई गुना बिगाड़ देता है।
- अनुमानों को वादे समझ लेना। एक चक्रवृद्धि-ब्याज मॉडल हमेशा के लिए एक निश्चित दर मानता है; असल दुनिया की दरें उतार-चढ़ाव करती हैं, इसलिए आउटपुट का उपयोग तंत्र को समझने के लिए करें, किसी गारंटीशुदा बैलेंस की भविष्यवाणी के लिए नहीं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
यह वह ब्याज है जो शुरुआती मूलधन और पिछली अवधियों के जमा हुए ब्याज — दोनों पर गणना किया जाता है। साधारण ब्याज (केवल मूलधन पर) के विपरीत, चक्रवृद्धि ब्याज समय के साथ घातीय वृद्धि पैदा करता है — जितनी देर आप रुकते हैं, यह उतनी ही तेज़ी से बढ़ता है।
72 का नियम क्या है?
72 को अपनी वार्षिक ब्याज दर से भाग दें ताकि यह अनुमान लगे कि आपके पैसे को दोगुना होने में कितने साल लगेंगे। 7% वार्षिक रिटर्न पर, पैसा लगभग 72 ÷ 7 ≈ 10.3 साल में दोगुना हो जाता है। यह निवेश विकल्पों की तुलना के लिए एक आसान मानसिक शॉर्टकट है।
कंपाउंडिंग फ्रीक्वेंसी वृद्धि को कैसे प्रभावित करती है?
अधिक बार कंपाउंडिंग थोड़ा ज़्यादा देती है। 10 साल के लिए 7% पर $10,000: वार्षिक = $19,672; मासिक = $20,097; दैनिक = $20,137। यह अंतर ऊँची दरों और लंबी अवधियों पर ज़्यादा मायने रखता है।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र क्या है?
A = P(1 + r/n)^(nt), जहाँ P = मूलधन, r = दशमलव में वार्षिक दर, n = प्रति वर्ष कंपाउंड की संख्या, t = साल। नियमित योगदान C प्रति अवधि के साथ: एन्युटी का भविष्य मूल्य जोड़ें = C × ((1 + r/n)^(nt) − 1) / (r/n)।
निवेश पर वास्तविक रिटर्न कितना होता है?
अमेरिकी शेयर बाज़ार (S&P 500) ने ऐतिहासिक रूप से महँगाई से पहले औसतन लगभग 7–10% वार्षिक दिया है। बचत खाते फ़िलहाल 4–5% पर हैं। बॉन्ड आमतौर पर 3–5%। आपका वास्तविक रिटर्न एसेट आवंटन और बाज़ार की परिस्थितियों पर निर्भर करता है।
मासिक योगदान वृद्धि को कैसे प्रभावित करते हैं?
नियमित योगदान वृद्धि को नाटकीय रूप से तेज़ कर देते हैं। 30 साल के लिए 7% पर $200/माह: योगदान कुल $72,000 होता है पर चक्रवृद्धि अंतिम मूल्य $243,000 के क़रीब पहुँचता है — अतिरिक्त $171,000 शुद्ध ब्याज है। जल्दी शुरू करना राशि से कहीं ज़्यादा मायने रखता है।