Calculadora de interés compuesto

10.000 € a distintas tasas y plazos

Cómo calcular el interés compuesto paso a paso

Tanto si buscabas «cómo calcular el interés compuesto» como si solo querías comprobar una oferta de un banco, el método es el mismo y son cuatro gestos. Tomemos un caso concreto: 10.000 € de capital inicial, una tasa anual del 5 %, un plazo de 15 años, capitalización mensual y un aporte mensual de 200 €.

1. Pasa la tasa a decimal y al periodo. Un 5 % anual se escribe 0,05 y luego se divide entre 12: 0,05 ÷ 12 = 0,0041667 mensual. El factor de crecimiento de cada mes es, por tanto, 1,0041667.
2. Cuenta los periodos. 12 capitalizaciones al año durante 15 años son n × t = 180 periodos.
3. Haz crecer el capital inicial. 10.000 € × 1,0041667¹⁸⁰ = 21.137,04 €. El capital de partida ha algo más que duplicado sin que hayas añadido nada.
4. Suma el valor final de los aportes. 200 € × (1,0041667¹⁸⁰ − 1) ÷ 0,0041667 = 53.457,79 €. Cada aporte se ha capitalizado desde el mes en que lo hiciste, así que los más antiguos han tenido más tiempo para trabajar.

Total: 74.594,83 € a los 15 años. De tu bolsillo habrán salido 46.000 € (10.000 € iniciales más 180 × 200 €), de modo que 28.594,83 € son intereses puros y el multiplicador que muestra la calculadora es 7,46. Con interés simple a la misma tasa te quedarías en 53.500 €: la capitalización añade aquí un 39,4 % más.

La subida es progresiva, y por eso el efecto cuesta verlo al principio. El primer año genera solo 567,39 € de intereses y la cuenta marca 12.967,39 €. El quinto año ya genera 1.222,87 €, con un saldo de 26.434,80 €. No ha cambiado la tasa: ha cambiado la cifra sobre la que se aplica. Abre la tabla año a año de arriba para seguir esa progresión durante todo el plazo que hayas introducido.

Qué significa cada término de la fórmula

Todas las cifras de esta página salen de una sola ecuación, la fórmula estándar de la capitalización periódica:

A = P(1 + r/n)^nt

• P — el capital inicial. La cantidad con la que empiezas. Es la semilla que multiplica el resto de la fórmula.
• r — la tasa anual, escrita en decimal. Una tasa anunciada del 7 % entra en la fórmula como 0,07, nunca como 7. Olvidarse de dividir entre 100 es, con diferencia, el error de cálculo más frecuente con el interés compuesto.
• n — el número de capitalizaciones al año. 1 para la capitalización anual, 2 para la semestral, 4 para la trimestral, 12 para la mensual y 365 para la diaria. Indica cada cuánto se devuelven al saldo los intereses generados para que empiecen a generar intereses ellos mismos.
• t — el plazo en años durante el que se deja crecer el dinero.
• A — el capital final: tu capital de partida más cada euro de interés acumulado.

El mecanismo tiene dos piezas. El factor de crecimiento de cada periodo, (1 + r/n), dice por cuánto se multiplica el saldo en cada paso; el exponente nt es el número total de esos pasos. Como el factor se vuelve a aplicar una y otra vez, los intereses abonados en un periodo entran en la base del siguiente: ese bucle de retorno es lo que hace que el crecimiento sea exponencial y no lineal. Cuando además añades un aporte fijo C en cada periodo, la herramienta superpone el valor final de una renta pospagable, C × ((1 + r/n)^nt − 1) ÷ (r/n), que suma el crecimiento capitalizado por separado de cada aporte.

¿Cuánto cambia el resultado la frecuencia de capitalización?

Mantén fijos la tasa, el capital y el plazo y aumenta solo n: el capital final sube, pero cada vez menos, acercándose a un techo que no puede superar. Aquí tienes 10.000 € al 7 % anual durante 10 años, capitalizados con distintas frecuencias:

Pasar de la capitalización anual a la mensual aporta unos 425 €; llevarla desde la diaria hasta el límite teórico de la capitalización continua añade apenas 1,35 € más. La frecuencia ayuda de verdad, pero su ventaja se agota muy rápido. El efecto crece con las tasas altas y los plazos largos, y por eso mismo una cuenta que presume de «intereses calculados a diario» rinde solo un pelo más que otra capitalizada cada mes a la misma tasa anunciada.

La capitalización continua y el número e

Lleva la frecuencia a su extremo lógico — capitalizar no cada día ni cada hora, sino en cada instante — y la fórmula se reduce a algo mucho más simple:

A = P·e^rt

Aquí e es el número de Euler, la constante matemática que vale aproximadamente 2,71828. Es exactamente el valor al que tiende (1 + 1/n)ⁿ cuando n crece sin límite, y por eso aparece justo en el momento en que la capitalización se vuelve continua. No es una casualidad de las finanzas: es la historia misma de cómo nació esta constante. En 1683, el matemático suizo Jacob Bernoulli estudiaba precisamente esta pregunta: si una cuenta pagase un 100 % de interés al año, ¿cuánto más se ganaría capitalizando cada vez más a menudo? Calculó que con capitalización trimestral 1 € se convierte en unos 2,44 € y con la mensual en unos 2,61 €, y demostró que la sucesión está acotada: por muy fino que se trocee el año, el resultado se detiene en algún punto entre 2 y 3. Ese techo es e ≈ 2,718281828, y el análisis de Bernoulli se considera normalmente la primera vez que un número se definió como el límite de una expresión. Una constante que hoy aparece por todas partes, del cálculo a la probabilidad y la física, la acorraló por primera vez alguien que perseguía el borde extremo del interés compuesto.

¿Es fiable la regla del 72? (y 70, 114 y 144)

La regla del 72 es un atajo mental para el tiempo de duplicación: divide 72 entre la tasa de interés escrita como porcentaje entero y el resultado te dice, aproximadamente, cuántos años tarda el capital en duplicarse. Al 8 % son 72 ÷ 8 = 9 años; al 6 %, 12 años. El atajo tiene siglos: el fraile toscano Luca Pacioli lo describió en su Summa de arithmetica, impresa en Venecia en 1494, mucho antes de que nadie supiera explicar por qué funciona.

La respuesta exacta viene de los logaritmos. El capital se duplica cuando el factor de crecimiento llega a 2, así que el tiempo de duplicación preciso es ln(2) ÷ ln(1 + r). Para las tasas pequeñas habituales en finanzas se cumple ln(1 + r) ≈ r, y el tiempo de duplicación queda en torno a ln(2) ÷ r. Como ln(2) ≈ 0,693, el numerador matemáticamente honesto ronda el 69,3 (hay quien lo redondea a 70, cómodo para las cuentas de inflación y población porque las divisiones salen limpias). ¿Por qué 72 entonces? Porque 72 se maneja mucho mejor de cabeza — se divide exacto entre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 12 — y porque, por una feliz coincidencia, es más preciso justo en la franja del 6–10 % donde se concentran las tasas del día a día. La tabla de abajo muestra lo cerca que se queda la regla aproximada de la respuesta real, con capitalización anual:

El mismo truco sirve para objetivos más ambiciosos. Para estimar el tiempo de triplicación, divide 114 entre la tasa (el valor exacto es ln(3) × 100 ≈ 109,9, redondeado hacia arriba para que la división siga siendo fácil); para cuadruplicar, usa 144 (de ln(4) × 100 ≈ 138,6). Con capitalización continua, cambia el 72 por 69,3, que ya no es una aproximación sino el valor exacto.

Una idea sorprendentemente antigua

El interés compuesto no es un invento moderno: es uno de los trozos de matemática aplicada más antiguos de los que tenemos constancia. Los escribas babilonios planteaban y resolvían problemas de interés sobre interés en tablillas de arcilla ya en el periodo paleobabilónico, aproximadamente entre el 2000 y el 1700 a. C.; su expresión acadia şibāt şibtim significa literalmente «interés del interés». El Código de Hammurabi, grabado hacia el 1750 a. C., ya regulaba los préstamos y ponía un tope a los intereses: un 20 % anual en los préstamos de plata y un 33⅓ % en los de cebada o grano.

Su reputación no siempre ha sido buena. Cobrar intereses sobre los intereses ya vencidos — lo que históricamente se llamó anatocismo — estaba condenado por el derecho romano y se contaba entre las peores formas de usura, y las prohibiciones religiosas sobre el interés moldearon el préstamo en todo el mundo medieval. El eco llega hasta el derecho español actual: el artículo 1109 del Código Civil admite que los intereses vencidos generen a su vez intereses, y el artículo 317 del Código de Comercio lo prohíbe en los préstamos mercantiles salvo pacto expreso posterior al vencimiento. La primera obra en inglés dedicada por entero al tema llegó mucho más tarde: el libro de Richard Witt Arithmeticall Questions, de 1613, con unos 124 ejemplos resueltos y tablas detalladas construidas alrededor del tope legal del 10 % de la época, tanto para sumas entregadas de una vez como para series de pagos anuales, semestrales y trimestrales. Manuales de mercaderes anteriores ya incluían tablas de interés compuesto — el del florentino Francesco Balducci Pegolotti, hacia 1340, es el más conocido —, pero el de Witt fue el primer libro entero sobre la cuestión.

¿De verdad dijo Einstein que era la octava maravilla?

Casi todo el mundo ha visto la frase: «El interés compuesto es la octava maravilla del mundo. Quien lo entiende, lo cobra; quien no, lo paga», atribuida con mucha seguridad a Albert Einstein. Queda muy bien en un póster. Solo hay un problema: no existe ninguna prueba fiable de que Einstein la dijera o la escribiera nunca. Los investigadores de Quote Investigator y de otras fuentes han seguido el rastro y no han encontrado ninguna fuente de la época: ninguna carta, ninguna entrevista, nada que ate la frase a Einstein. La cita solo empieza a aparecer impresa hacia 1983, casi tres décadas después de su muerte en 1955. La etiqueta de «octava maravilla» ya se la colgaban al interés compuesto los publicistas en un anuncio bancario de 1925, sin ningún nombre famoso detrás; con el tiempo se le asignó sin más a Einstein, y a veces a financieros como los Rothschild o Rockefeller, para que sonara con más autoridad.

Lo señalamos porque la exactitud importa más que una cita redonda. La matemática de la capitalización es realmente notable, pero el asombro se lo ganan los números, no un aval famoso atribuido por error.

¿Cuál es la diferencia real entre interés simple y compuesto?

El interés simple solo se genera sobre el capital de partida: cada año ganas la misma cantidad y el saldo sube en línea recta. El interés compuesto se genera sobre el capital y sobre los intereses ya ganados, así que el saldo se curva hacia arriba y acelera. En plazos cortos los dos resultados se parecen mucho; en plazos largos se separan de forma clara. Aquí tienes 10.000 € al 6 % anual, simple frente a compuesto anual:

A los 40 años el saldo capitalizado vale unas tres veces el resultado con interés simple, con la misma cantidad depositada y la misma tasa: toda la diferencia son intereses que han producido más intereses. Es el motor del valor del dinero en el tiempo: un euro hoy vale más que un euro mañana precisamente porque entre medias puede ponerse a capitalizar. También es la razón por la que empezar pronto puede pesar más que aportar más. Un único depósito de 10.000 € dejado crecer al 7 % durante 40 años llega a unos 149.745 €, mientras que esos mismos 10.000 € invertidos «solo» 30 años se quedan en unos 76.123 €: apenas algo más de la mitad, con un depósito idéntico, únicamente porque la primera versión disfrutó de diez años más de capitalización. (Son ilustraciones matemáticas, no previsiones ni consejos de inversión: la rentabilidad real varía y nunca está garantizada.)

Tasa nominal y tasa efectiva: ¿cuál comparar?

Dos productos pueden anunciar la misma tasa en el escaparate y rendir de forma distinta, porque la tasa anunciada suele ignorar la frecuencia de capitalización. La tasa nominal anual (el TIN en España) es la tasa indicada antes de tener en cuenta cuántas veces se capitalizan los intereses. La tasa efectiva anual incorpora la capitalización y es el único número que permite una comparación en igualdad de condiciones. La conversión se escribe: tasa efectiva = (1 + r/n)ⁿ − 1. Una tasa nominal del 12 % capitalizada cada mes equivale a una efectiva del 12,68 %. En crédito, ese papel lo cumple la TAE, que además del tipo incluye las comisiones y los gastos obligatorios y debe figurar por ley en toda oferta de préstamo, precisamente para que el coste real no se esconda en la letra pequeña.

¿Cuándo juega el interés compuesto en tu contra?

La capitalización no distingue: hace crecer todo aquello a lo que se aplica, deudas incluidas. En una tarjeta de crédito con un 24 % nominal capitalizado cada mes, la tasa efectiva ronda el 26,82 % anual, y el saldo no pagado se recarga de intereses cada mes, de modo que al mes siguiente los intereses se calculan también sobre los intereses. La misma curva exponencial que construye un capital para la jubilación puede enterrar a quien solo paga la cuota mínima. Es exactamente el mecanismo de las tarjetas revolving, donde una cuota baja apenas cubre los intereses y el capital pendiente casi no baja.

La inflación se entiende mejor como una capitalización al revés: erosiona el poder adquisitivo del dinero a un ritmo compuesto. Con una inflación estable del 3 %, la regla del 72 dice que los precios se duplican — y el poder adquisitivo se reduce a la mitad — en unos 24 años (72 ÷ 3). Por eso una rentabilidad «segura» que solo iguala a la inflación no te deja en mejor posición en términos reales, y por eso quien ahorra a largo plazo mira la tasa real (descontada la inflación) y no solo la nominal. En el lado constructivo, reinvertir lo que se cobra — dividendos que vuelven dentro, intereses que no se gastan — es justo lo que mantiene encendido el motor: si los intereses se gastan según llegan, el crecimiento compuesto vuelve en silencio a ser simple.

Errores frecuentes al calcular el interés compuesto

• Confundir la tasa nominal con la efectiva. Comparar una tasa «capitalizada cada mes» con otra «anual» sin convertirlas es comparar dos cosas distintas.
• Ignorar por completo la frecuencia de capitalización. La misma tasa nominal, capitalizada a diario o una vez al año, no da el mismo total: poco al principio, mucho a lo largo de varias décadas.
• Esperar un crecimiento lineal. Los resultados a largo plazo se subestiman sistemáticamente, porque la intuición prolonga una recta donde la capitalización se curva hacia arriba.
• Olvidar comisiones, impuestos e inflación. La rentabilidad del escaparate es bruta; lo que de verdad capitaliza es lo que queda después de los gastos, después de la retención fiscal y, en términos reales, después de la inflación.
• Introducir mal la tasa. Usar 7 en lugar de 0,07, o aplicar una tasa anual sin hacer coincidir el número de periodos con la frecuencia de capitalización, desvía el resultado en varios órdenes de magnitud.
• Tomar una proyección por una promesa. Un modelo de interés compuesto supone una tasa fija para siempre; en la realidad las tasas se mueven, así que el resultado sirve para entender el mecanismo, no para anunciar un saldo garantizado.